Objetivos do projeto: como esclarecido no relat...objetivos do projeto: como esclarecido no relatório de pesquisa do período anterior (2020 -2023), é de interesse continuar explorando, principalmente, os problemas em i) e ii) abaixo com algumas alterações. i) sejam c uma categoria de fusão e g um grupo finito que age em c. consideramos m um c-módulo, h um subgrupo de g e, além disso, suponhamos que m seja uma categoria h-equivariante. em [pr], determinamos os objetos simples da equivariantização m^h, no caso em que c é uma categoria de fusão e m é localmente finita e semissimples. em [r], apresentamos uma parametrização que nos dá uma outra maneira de caracterizarmos os simples em categorias módulo equivariantizadas semissimples. nosso objetivo é estudarmos os resultados obtidos em [pr] e [r] no caso não-semissimples. para isso, estamos estudando categorias módulo m sobre categorias tensoriais finita c que sejam exatas, isto é, localmente finita, a quantidade de classes de isomorfismo de objetos simples é finita e se, para todo objeto projetivo p em c, o objeto p \overline{\otimes} n em m é projetivo, para todo objeto n em m. as categorias módulo exatas generalizam categorias módulo semissimples, mas de alguma forma, algumas propriedades ''boas'' ainda são preservadas como, por exemplo, se c e d são categorias tensoriais finitas e f: c \rightarrow d é um funtor tensorial exato, então m^f é exata sobre c, se m é exata sobre d. tal resultado pode desempenhar um papel importante para o que pretendemos fazer. ii) sejam c uma categoria tensorial e um c-módulo m. em [dm], os autores introduzem uma nova categoria tensorial denotada por m \ltimes c, chamada extensão dinâmica de c sobre m. um twist dinâmico para a extensão m \ltimes c é um cociclo j em m \ltimes c (veja, por exemplo, [m], definición 3.6.1). a partir daí, surgem as representações provenientes de twists dinâmicos, explicadas a seguir. seja j um twist dinâmico para a categoria m \ltimes c, denota-se por m^(j) a categoria abeliana subjacente à categoria módulo m cuja estrutura de módulo sobre c é a mesma que de m e os isomorfismos de associatividade são dados por \widehat{m}_{x,y,n} = m_{x,y,n} \circ j^{-1}_{x,y,n}, para quaisquer x,y em c e n em m. em [m1] e [m2], podemos estudar essa teoria e alguns exemplos. nosso objetivo nesse item é investigar twists dinâmicos j e j' para álgebras de hopf fracas e álgebras quasi-hopf, respectivamente e as representações provenientes destes twists. mais especificamente, no contexto de álgebras quasi-hopf, o fato de termos obtido um exemplo de uma álgebra base sobre uma álgebra quasi-hopf, nos leva a pensarmos sobre a extensão dinâmica sobre essa mesma tal álgebra base, é possível construí-la ? iii) este problema constava em meu projeto anterior. entretanto, durante aquele projeto, os itens i) e ii) acima consumiram todo o tempo. todavia, esse é um problema que nos interessa, pois o mesmo trata do comportamento de simples em 2-categorias. já tendo sido recentemente definidas a ação de um grupo (finito) g em b e a respectiva equivariantização b^g, veja [bgm]. a pergunta agora é como determinar objetos simples em b^g ? relevância: para o item i), a relevância de se determinar os objetos simples em categorias módulo equivariantizadas que não sejam semissimples está no fato de que surgem muito mais exemplos para aplicação da teoria e, exemplos, de fato, motivam o porquê de se desenvolver qualquer teoria. em ii), a relevância seria a construção de novas categorias módulo sobre categorias de fusão. já para iii) seria importante entender o comportamento de objetos simples em 2-categorias e talvez seja possível relacionar essa noção com o já feito em [pr] e em [r]. fatos que indicam que o plano proposto tem possibilidade de ser levado adiante: para o item i), é fato que se as categorias módulo forem acrescidas da hipótese de serem exatas, nos parece possível obtermos alguns resultados ``próximos'' dos já obtidos no caso semissimples. estamos estudando novas ferramentas relacionadas às categorias módulo exatas, visto que já percebemos onde o problema é mais truncoso. para ii), foram obtidos resultados considerando h uma álgebra de hopf, veja [m1] e [m2]. acreditamos que seja ''natural'' pensarmos no caso álgebra quasi-hopf e álgebra de hopf fraca e esse fato vem se confirmando com os avanços obtidos com o aluno daniel peña no contexto quasi-hopf. finalmente, para iii), uma vez definida a ação de g em b, ou seja, a equivariantização b^g é natural querermos saber como traduzir a noção de objetos simples para o contexto 2-bicategórico usando, por exemplo, [pr] e [r] como motivação. bibliografia: [bgm] e. bernaschini, c. galindo and m. mombelli. group actions on 2-categories. arxiv:1702.02627 - 02/2017. [dm] j. donin and a. mudrov. dynamical yang-baxter equation and quantum vector bundles. commun. math. phys. {\bf{254}} (2005), 719-760. [e] p. etingof et al. tensor categories. american mathematical society, 2015. [m] m. mombelli. una introducción a las categorías tensoriales y sus representaciones. notas de aula, unpublished. [m1] m. mombelli. constucting dynamical twists over a non-abelian base. applied categorical structures, vol.18, n.4 (2010) 407-429. [m2] m. mombelli. dynamical twists in hopf algebras. int. math. res. nat. (2007) vol. 2007. [pr] s. pinter and v. rodrigues. simple objects in equivariantized module categories. journal of algebra and its applications: vol. 18, n. 1 (2019) pp.1950001 (28 pages). on line publication, march, 2018. [r] v. rodrigues. a special parametrization of simple objects in representations of fusion categories. submetido.