Este projeto possui os seguintes objetivos: ...este projeto possui os seguintes objetivos: i) sejam c uma categoria tensorial finita e g um grupo finito que age em c. consideramos m um c-módulo, h um subgrupo de g e, além disso, suponhamos que m seja uma categoria h-equivariante. em [pr], determinamos os objetos simples da equivariantização m^h, no caso em que c é uma categoria de fusão e m é localmente finita e semissimples. nosso objetivo agora é resolver tal problema no caso não-semissimples. para isso, estamos estudando categorias módulo m sobre categorias tensoriais finita c que sejam exatas, isto é, localmente finita, a quantidade de classes de isomorfismo de objetos simples é finita e se, para todo objeto projetivo p em c, o objeto p \overline{\otimes} n em m é projetivo, para todo objeto n em m. as categorias módulo exatas generalizam categorias módulo semissimples, mas de alguma forma, algumas propriedades ``boas'' ainda são preservadas como, por exemplo, se c e d são categorias tensoriais finitas e f: c \rightarrow d é um funtor tensorial exato, então m^f é exata sobre c, se m é exata sobre d. tal resultado pode desempenhar um papel bem importante para o que pretendemos fazer. é nesse caminho que pensamos seguir. ii) sejam c uma categoria tensorial e um c-módulo m. em [dm], os autores introduzem uma nova categoria tensorial denotada por m \ltimes c, chamada extensão dinâmica de c sobre m. um twist dinâmico para a extensão m \ltimes c é um cociclo j em m \ltimes c (veja, por exemplo, [m], definición 3.6.1). a partir daí, surgem as representações provenientes de twists dinâmicos, explicadas a seguir. seja j um twist dinâmico para a categoria m \ltimes c, denota-se por m^j a categoria abeliana subjacente à categoria módulo m cuja estrutura de módulo sobre c é a mesma que de m e os isomorfismos de associatividade são dados por \widehat{m}_{x,y,n} = m_{x,y,n} \circ j^{-1}_{x,y,n}, para quaisquer x,y em c e n em m. em [m1] e [m2], podemos estudar essa teoria e alguns exemplos. nosso objetivo nesse item é investigar twists dinâmicos j e j' para álgebras de hopf fracas e quasi-álgebras de hopf, respectivamente, e também as representações provenientes destes twists. iii) este problema constava em meu projeto anterior e como dito no relatório final do mesmo, não desenvolvemos satisfatoriamente o mesmo. sabendo ser este um problema com uma importância considerável, o mesmo será novamente considerado nesse projeto. uma bicategoria bic consiste de: um conjunto de objetos, obj(bic) chamados 0-células. para cada par de objetos a,b em obj(bic), uma categoria bic(a,b), em que seus objetos são chamados 1-células e seus morfismos são chamados 2-células. para cada tripla a, b, c em obj(bic) um bifuntor \bar{\circ}^{abc} : bic(a, b) \times bic(b, c) \rightarrow bic(a,c). para cada 0-célula a$uma 1-célula i_a pertence a bic(a, a). para cada quádrupla a, b, c, d em obj(bic) um isomorfismo natural (chamado asociatividade) alpha^{abcd}: \bar{\circ}^{acd}(\bar{\circ}^{abc} \times id) \rightarrow \bar{\circ}^{abd} (id \times \bar{\circ}^{bcd}), em que id é o funtor identidade. para cada dupla a, b em obj(bic) os isomorfismos naturais l^{ab} : \bar{\circ}^{aab}(i_a \times id) \rightarrow id e r^{ab} : \bar{\circ}^{abb}(id \times i_b) \rightarrow id. esses dados todos acima sujeitos a alguns axiomas. se alpha, l, r são identidades, então bic chama-se uma 2-categoria. já tendo sido recentemente definidas a ação de um grupo (finito) g em bic e a respectiva equivariantização bic^g, veja [bgm]. a pergunta agora é como determinar objetos simples em bic^g ? descrição do projeto - histórico: os problemas estão devidamente contextualizados acima - relevância: para o item i), a relevância de se determinar os objetos simples em categorias módulo equivariantizadas que não sejam semissimples está no fato de que surgem muito mais exemplos para aplicação da teoria e, exemplos, na verdade, é que fundamentam o porquê de se desenvolver qualquer teoria. para o item ii), a relevância seria a produção de exemplos de representações de categorias rep(h) com h álgebra de hopf fraca ou h quasi-álgebra de hopf. para o item iii) estaríamos estendendo a noção de [pr] para o contexto 2-bicategórico. - atividades a serem desenvolvidas: seminários semanais nos quais apresentaremos resultados de alguns trabalhos como [e], [m1] e [m2]. - fatos que indicam que o plano proposto tem possibilidade de ser levado adiante: para o item i), acreditamos que se as categorias módulo forem acrescidas da hipótese de serem exatas, poderemos ter alguns resultados ``próximos'' dos já obtidos no caso semissimples. estamos caminhando nessa direção até o momento. para o item ii), foram obtidos resultados considerando h uma álgebra de hopf, [m1] e [m2]. acreditamos que seja ``natural'' pensarmos no caso quasi-álgebra de hopf e álgebra de hopf fraca. para o item iii), uma vez definida a ação de g em bic e a equivariantização bic^g, é necessário saber como traduzir a noção de objetos simples para o contexto 2-bicategórico e [pr] talvez possa auxiliar. bibliografia: [bgm] e. bernaschini, c. galindo and m. mombelli. group actions on 2-categories. arxiv:1702.02627 - 02/2017. [dm] j. donin and a. mudrov. dynamical yang-baxter equation and quantum vector bundles. commun. math. phys. {\bf{254}} (2005), 719-760. [e] p. etingof et al. tensor categories. american mathematical society, 2015. [m] m. mombelli. una introducción a las categorías tensoriales y sus representaciones. notas de aula, unpublished (2013). [m1] m. mombelli. constucting dynamical twists over a non-abelian base. applied categorical structures, vol.18, n.4 (2010) 407-429. [m2] m. mombelli. dynamical twists in hopf algebras. int. math. res. nat. (2007) vol. 2007. [pr] s. pinter and v. rodrigues. {\it{simple objects in equivariantized module categories}}. journal of algebra and its applications: vol. 18, n. 1 (2019) pp.1950001 (28 pages). on line publication, march, 2018.