Sistemas diferenciais aparecem na modelagem de ...sistemas diferenciais aparecem na modelagem de muitos fenômenos naturais em diferentes ramos da ciência, em aplicações biológicas e físicas, entre outras áreas. eles geralmente possuem curvas invariantes, o que nos permite obter uma melhor descrição do comportamento qualitativo de suas soluções. tais curvas invariantes podem ser algébricas ou não e, no caso de serem fechadas, isoladas no conjunto de órbitas periódicas e sem pontos singulares, são chamadas de ciclos limites. há um problema muito famoso, proposto por david hilbert em 1900, que questiona o número máximo de ciclos limites que os sistemas diferenciais polinomiais de um determinado grau poderiam apresentar. mesmo após centenas de estudos sobre os retratos de fase dos campos vetoriais reais planares e quadráticos, a caracterização completa de seus retratos de fase é uma tarefa bastante complexa. eles dependem de doze parâmetros e após transformações afins e reescalonamento de tempo, temos famílias com cinco parâmetros, o que ainda é um grande número. assim muitas subclasses tem sido consideradas em vez do sistema completo. neste projeto propomos investigar condições sob os parâmetros de um sistema planar quadrático de modo que ele apresente uma curva algébrica invariante de grau 3 (curva cúbica) e um invariante de darboux e obter todos os seus retratos de fase não equivalentes. além disso, motivados pelo crescente interesse na teoria dos campos de vetores suaves por partes, pretende-se investigar o número de órbitas periódicas que tais campos podem apresentar. para este estudo, usaremos a teoria do averaging, juntamente com a redução de lyapunov-schmidt, em uma determinada classe de sistemas suaves por partes.