O efeito aharonov-bohm, proposto originalmente ...o efeito aharonov-bohm, proposto originalmente em 1959 por yakir aharonov e david bohm (mas observado 10 anos antes por werner ehrenberg e raymond e. siday), caracteriza um dos aspectos fundamentais da mecânica quântica, apresentando um fenômeno que tem suas origens na natureza ondulatória da matéria e na sua relação com a topologia do espaço ambiente. desde a confirmação experimental (tonomura e colaboradores em 1989), o efeito aharonov-bohm passou a ter uma importância teórica muito grande, especialmente na área de física matemática, já que a natureza do fenômeno dificulta o seu entendimento aprofundado. o objetivo geral deste projeto é contribuir para o entendimento matemático deste efeito, em particular, das propriedades espectrais do operador autoadjunto associado ao problema. algumas questões importantes podem ser levantadas e ainda precisam ser respondidas: (a) adicionando um potencial v apropriado ao operador, sabe-se [de oliveira, romano 2017] que o mesmo passa a possuir uma única extensão autoadjunta. como se dá a passagem entre a existência de uma e infinitas soluções? o estudo das extensões autoadjuntas de operadores como este podem ser encontrados em [de oliveira, marciano, 2010] e pode ser um ponto de partida para se responder esta questão. (b) são conhecidas as propriedades espectrais do efeito ab no plano, considerando regiões com muita simetria. é possível generalizar estes resultados para o espaço $r^{3}$? ou para regiões no plano com pouca simetria? a origem deste problema encontra-se em [helffer 1988] e [lavine, o'carrol 1977] onde os autores provaram que o primeiro autovalor do operador com campo é estritamente maior que o operador sem campo. a pergunta natural é estudar como se dá esta variação. (c) considerando dois buracos no plano, coordenadas bipolares simplificam muito o operador resultando em uma equação não separável para o problema de autovalor. é possível resolver a equação e obter o comportamento do primeiro autovalor? se sim, poderíamos responder parte da questão (b) acima. partiremos do fato de que é possível se resolver a equação de helmholtz em coodenadas bipolares, mesmo esta não sendo separável [weston, 1957]. tentaremos explorar esta técnica e as outras derivadas dela e tentar aplicar o problema com campo, notando que nosso problema engloba uma generalização da equação de helmholtz no plano.