Este projeto de pesquisa consiste em duas propo...este projeto de pesquisa consiste em duas propostas distintas: (proposta 1) famílias compactas ?-pullback atraentes para processos de evolução em espaços de banach. (proposta 2) estabilidade estrutural topológica para semigrupos impulsivos gradientes. os detalhes de cada proposta e seus objetivos específicos serão detalhados a seguir. o projeto será desenvolvido no período de 01/10/2022 a 30/09/2025 (3 anos) e projeto contará com a colaboração dos seguintes: • proposta 1 – prof. tomás caraballo (universidad de sevilla) – carlos pecorari neto (doutorando - ufsc) – profa. giovana siracusa gouveia (universidade federal de sergipe) • proposta 2 – prof. everaldo de mello bonotto (icmc-usp) – fabiano pereira (doutorando - ufsc) 1. famílias compactas ?-pullback atraentes para processos de evolução em espaços de banach o estudo de problemas não autônomos tem sido o foco de muitos pesquisadores nas últimas décadas. equações e sistemas não autônomos são de fundamental importância na modelagem e entendimento de problemas reais em química, biologia, física, economia e muitas outras áreas, uma vez que os termos que aparecem nos modelos são, geralmente, tempo dependentes. mais especificamente, lidaremos com o comportamento assintótico de tais problemas e, para tanto, o principal objeto de estudo são os conjuntos e famílias atraentes. a literatura existente lida com atratores que, em geral, representam a coleção de estados limites das soluções de equações não autônomas, além de conter todas as soluções limitadas que estão definidas para todo tempo. em outras palavras, os atratores são objetos que contém basicamente todas as soluções que procuramos estudar, tempo em mente os problemas do mundo real. no trabalho desenvolvido por zhao, zhong e zhu em [1], os autores introduzem o conceito de conjuntos compactos ?-atraentes para semigrupos, que são conjuntos que contêm o atrator global do sistema e para os quais é possível entender a velocidade de atração que eles possuem, quando aplicados sobre conjuntos limitados no espaço de fase. isto é feito estimando a taxa de decaimento, que depende de uma função ?, usando a medida de não compacidade de kuratowski. objetivos da proposta 1. (1.1) seguindo [26],queremos definir o conceito de família compacta ?-pullback atraentes para um processo de evolução s, além de encontrar condições para garantir sua exis- tência. (1.2) replicar a teoria do item (1) para o atrator uniforme do processo de evolução s. (1.3) em [2] e [3] os autores estudaram o comportamento assintótico do problema autônomo dado por uma equação da onda com amortecimento fraco não locar e antiamortecimento. eles provaram a existência de um atrator global e de um atrator polinomial (estimando sua velocidade de atração), onde p e k são constantes positivas e k, h e f são certas funções satisfazendo condições apropriadas. baseados nesse trabalho, planejamos obter a existência de uma família compacta ?-pullback atraente para um problema similar, porém não autônomo. [1] c. zhao, c. zhong, and x. zhu. existence of compact ?-attracting sets and estimate of their attractive velocity for infinite-dimensional dynamical systems. disc. cont. dynam. sys. - b, 1(1), 2022. [2] c. zhao, c. zhao, and c. zhong. asymptotic behaviour of the wave equation with nonlocal weak damping and anti-damping. j. math. anal. appl., 490(1):124186, 16, 2020. [3] c. zhao, c. zhong, and s. yan. existence of a generalized polynomial attractor for the wave equation with nonlocal weak damping, anti-damping and critical nonlinearity. appl. math. lett., 128:paper no. 107791, 9, 2022. 2. estabilidade estrutural topológica para semigrupos impulsivos gradientes recentemente, a teoria de sistemas dinâmicos impulsivos tem recebido uma atenção considerável por vários autores. uma primeira definição de atrator global apareceu em [4], porém tal definição exclui uma classe importante de sis- temas dinâmicos impulsivos e com isso, em [5] os autores apresentaram uma nova definição de atrator global para um semigrupo impulsivo e para isto a condição de compacidade é re- movida. logo após, em [6], os autores introduzem a noção de atrator global como o menor compacto que atrai uniformemente os subconjuntos limitados. a grande maioria dos traba- lhos que provam a existência do atrator global para um sistema dinâmico impulsivo utilizam as chamadas condições de tubo, introduzidas por ciesielski em [7], que são um pouco difíceis de serem verificadas, no entanto em [8] os autores introduzem uma nova condição chamada de condição (t) que substitui as condições de tubo e com isso conseguem mostrar a existência de atrator global. logo em seguida, em [9] os autores adaptaram a condição (t) e definindo o conceito de semiatrator pullback e atrator pullback conseguiram condições que garantem a existência do atrator pullback para um processo de evolução impulsivo. objetivos da proposta 2. (2.1) adaptar a condição (t) e os resultados de [9] para o caso de um semigrupo impulsivo e com isso obtermos condições necessárias para que um semigrupo impulsivo possua um semiatrator e, consequentemente, um atrator global. (2.2) adaptar os resultados sobre semigrupos gradientes do caso contínuo para o caso impulsivo e encontrar uma caracterização para o atrator global de um semigrupo impulsivo gradiente em termos dos conjuntos instáveis dos invariantes isolados associados à função de lyapunov. (2.3) definir os semigrupos impulsivos dinamicamente gradientes e tentar encontrar sua relação com os semigrupos impulsivos gradientes. (2.4) provar a estabilidade estrutural topológica dos semigrupos impulsivos dinamicamente gradientes. [4] e. m. bonotto and d. p. demuner. attractors of impulsive dissipative semidynamical systems. bull. sci. math., 137(5):617–642, 2013. [5] e. m. bonotto, m. c. bortolan, a. n. carvalho, and r. czaja. global attractors for impulsive dynamical systems - a precompact approach. j. differential equations, 259(7):2602–2625, 2015. [6] o. v. kapustyan and m. o. perestyuk. global attractors of impulsive infinite-dimensional systems. ukraïn. mat. zh., 68(4):517–528, 2016. [7] k. ciesielski. sections in semidynamical systems. bull. polish acad. sci. math., 40(4):297–307, 1992. [8] e. m. bonotto and p. kalita. on attractors of generalized semiflows with impulses. j. geom. anal., 30(2):1412–1449, 2020. [9] m. c. bortolan and j. m. uzal. pullback attractors to impulsive evolution processes: applications to differential equations and tube conditions. discrete contin. dyn. syst., 40(5):2791–2826, 2020.