Na última década, nossa pesquisa tem se concent...na última década, nossa pesquisa tem se concentrado em ações e representações parciais de álgebras de hopf. a noção de ação parcial de uma álgebra de hopf foi primeiramente apresentada no trabalho e stefaan caenepeel e kris janssen, que introduziram a noção de estrutura entrelaçada parcial. a partir de então, muitas idéias concernentes a ações parciais de grupos foram transplantadas para o contexto de álgebras de hopf. uma verdadeira mudança de paradigmas ocorreu devido ao no estudo de representações parciais de álgebras de hopf. a estrutura monoidal da categoria de representações parciais, muito embora já estivesse presente no caso de grupos, nunca tinha sido explorada. a partir do estudo de representações parciais de álgebras de hopf, duas coisas ficaram claras: a estrutura monoidal das categorias de módulos e comódulos parciais desempenhava um papel central na teoria e a teoria de representações parciais de álgebras de hopf estava fortemente ligada à teoria de módulos sobre hopf algebróides. neste projeto, nosso foco estará concentrado basicamente nos seguintes temas: 1) a comonadicidade da teoria de co-representações parciais de álgebras de hopf. as álgebra de hopf são esruturas algébricas que possuem um bom comportamento com relação à dualidade. é sempre comum, ao estudarmos esses objetos, não só tratarmos de sua teoria de módulos, mas também de sua teoria de comódulos. a partir de nosso trabalho sobre representações parciais de álgebras de hopf, no qual demonstramos que a categoria de módulos parciais de uma álgebra de hopf $h$ era isomorfa à categoria de módulos sobre o hopf algebróide $h_{par}$ construído a partir da álgebra de hopf original. nesse contexto, surgiu naturalmente a pergunta a respeito de comódulos parciais sobre uma álgebra de hopf $h$. o estudo da teoria de comódulos parciais se revelou bem mais complexo do que aparentava a princípio. entre outras dificuldades técnicas, descobrimos que existiam comódulos parciais que não satisfaziam ao teorema fundamental, isto é, não era verdade que todo elementos de um comódulo parcial estivesse contido em um subcomódulo parcial de dimensão finita. desta maneira, era impossível que a categoria de $h$ comódulos parciais fosse uma categoria de comódulos. no entanto, ainda há a possibilidade de que a categoria de comódulos parciais sobre uma álgebra de hopf seja uma categoria de coálgebras sobre uma determinada comônada, ou seja, que a teoria de $h$ comódulos parciais seja comonádica. neste sentido, primeiramente construímos um adjunto à direita do funtor esquecimento $u:\mathcal{m}^h_{par} \rightarrow \underline{vect}_\bbbk$ e verificamos que este satisfaz às hipóteses de um teorema dual ao teorema de beck para comônadas. mais ainda, o funtor adjunto à direita do funtor esquecimento é naturalmente isomorfo ao produto tensorial por uma coálgebra topológica \cite{takeuchi}. também perguntamos se a comônada envolvida na teoria de $h$-comódulos parciais possui uma estrutura de comônada de hopf. também em nosso trabalho sobre correpresentações parciais, provamos que a coálgebra universal $h^{par}$, que é uma subcoálgebra da coálgebra colivre $c(h)$, relativa a $h$, possui uma estrutura de hopf coalgebróide. de fato, nós mesmos introduzimos a noção de hopf coalgebróide, uma vez que, na literatura, somente existia a noção de bicoalgebróide, que é uma noção dual à de bialgebróide. de certa forma, temos a expectativa que essas estruturas adicionais se reflitam também na comônada. este trabalho está sendo desenvolvido em colaboração com joost vercruysse e william hautekiet, da université libre de bruxelles. 2) a teoria dos semigrupos inversos quânticos. a teoria de representações parciais de grupos pode ser vista tanto como uma teoria de representações de semigrupos inversos quanto como uma teoria de representações de grupóides. de fato, existem vários resultados na literatura que intercambiam semigrupos inversos e grupóides. como dissemos, a teoria das representações parciais de uma álgebra de hopf $h$ corresponde à teoria de representções de um hopf algebróide $h_{par}$, construído a partir de $h$. é bem conhecido o fato que os hopf algebróides podem ser interpretados como análogos de grupóides assim como as algebras de hopf podem ser vistas como um análogo de grupos. neste contexto, falta-nos um análogo aos semigrupos inversos. neste sentido, nós introduzimos a noção de semigrupo inverso quântico: vários objetos são exemplos de semigrupos inversos quânticos: álgebras de hopf, álgebras de semigrupos, esquemas afins de semigrupos, álgebras de hopf fracas, hopf algebróides de lu, categorias de hopf, etc. uma vez introduzido o conceito de semigrupo inverso quântico, buscamos resultados análogo aos que ocorrem no contexto de grupóides, por exemplo, dado um grupóide étale, as bisseções desse grupóide formam um semigrupo inverso. para obetermos resultados análogos no contexto de hopf algebróides e semigrupos inversos quânticos, estamos trabalhando no conceito de birretração de um hopf algebróide (que é uma noção dual do conceito de bisseção em um grupóide). até o momento, ainda só conseguimos elaborar uma boa teoria de bisseções para o caso de hopf algebróides comutativos. nosso ``laboratório'' para a construção das ideias tem sido o hopf algebróide das funções representativas de um grupóide discreto. este é um trabalho em colaboração com marcelo muniz silva alves, da ufpr e com minha estudante de doutorado, francielle kuerten boeing. 3) o estudo das ações parciais de grupos sobre categorias monoidais. em um celebrado artigo, o matemático japonês daisuke tambara descreveu uma teoria de ações de grupos sobre categorias monoidais. entre outras construções, ele definiu aas categorias monoidais dos invariantes sob a ação do grupo e o produto semidireto da categoria pelo grupo, mostrando que essas duas categorias são morita equivalentes. nesta direção, definimos o que seria uma ação parcial de um grupo $g$ sobre uma categoria semigrupal $(\mathcal{c} , \otimes)$. no caso de uma ação parcial unital de um grupo $g$ sobre uma categoria monoidal $\mathcal{c}$ (uma ação parcial unital é uma ação em que os ideais categóricos associados aos elementos do grupo sao gerados por idempotentes na categoria), já definimos o que vem a ser a categoria dos invariantes parciais, mostramos que forma uma categoria monoidal e também já construímos a categoria smash parcial. estamos investigando a equivalência de morita no caso parcial. também temos investigado o processo de globalização em nível categórico. neste caso, algumas construções não parecem ser tão imediatas como no caso de ações parciais de grupos sobre álgebras. finalmente, chamou-nos a atenção nos últimos meses um trabalho em que os autores propõem uma representação em termos de feixes para categorias monoidais. com esta interpretação topológica, podemos perguntar sobre a relação entre a categoria smash parcial construída pela ação parcial do grupo sobre a categoria e o produto cruzado parcial da ação parcial induzida sobre o espaço topológico subjacente. várias questões ainda podem ser levantadas. por exemplo, a categoria dos módulos sobre $k_{par}g$ é uma categoria monoidal. neste sentido, as categorias monoidais que sofrem uma ação parcial de $g$ podem ser vistas como categorias módulo de ${}_{k_{par}g}\mathcal{m}$? este trabalho está sendo desenvolvido em colaboração com felipe lopes castro e mykola khrypchenko, do departamento de matemática da ufsc. 4) o estudo das ações parciais de mônadas de hopf. bimônadas e mônadas de hopf são generalizações, respectivamente, de biálgebras e de álgebras de hopf vistas como endofuntores em uma determinada categoria. existem duas versões altenativas para bimônadas. na primeira, uma bimônada é uma mônada e uma comônada que satisfaz a algumas relações de compatibilidade entre as duas estruturas. a segunda construção, devida e bruguières e virelizier \cite{bruvir1,bruvir2}, são mônadas em categorias monoidais para as quais a sua categoria de eilenberg-moore tem induzida uma estrutura monoidal que é preservada pelo funtor esquecimento. mônadas de hopf possuem propriedades análogas a álgebras de hopf. neste sentido, procuramos entender quais seriam as noções adequadas de ações e representações parciais de mônadas de hopf. a primeira noção de mônada de hopf é mais apropriada para descrevermos ações parciais sobre outras mônadas, através de leis distributivas apropriadas. também podemos de maneira mais ou menos direta construir produtos smash parciais e fazermos perguntas análogas às feitas para o contexto de álgebras de hopf. já a segunda noção de mônada de hopf nos leva a investigar de maneira mais profunda uma teoria de representações parciais, nos moldes desenvolvidos em nossos trabalhos de representações parciais de álgebras de hopf. este trabalho está sendo desenvolvido em colaboração com o estudante de doutorado leonardo guarnieri justino.