é um problema clássico determinar quando uma a... é um problema clássico determinar quando uma aplicação contínua entre duas variedades suaves e fechadas é homotópica a uma mais regular. claramente o pai desses problemas é o célebre teorema de rigidez de mostow, que foi maravilhosamente estendido por g. besson, g. courtois e s. gallot. eles estudaram a rigidez da entropia volume e provaram que se uma variedade adimite uma metrica hiperbolica g_0, então o minimo da entropia volume è etingido por metricas que são isometricas a g_0. na prova deste resultado eles desinvolviram a "tecnica do baricentro" que depois deste atigo foi usada para resolver uma série de problemas de longa data. em particular a tecnica do baricentro foi usada frutuosamente para encontrar condições que asseguram que uma aplicação contínua f:y -> x entre duas variedades suaves e fechadas é homotópica a um difeomorfismo entre y e x. um dos resultados mais interessantes, obtidos por meio dessa técnica, é o seguinte teorema de bessières, g. besson, g. courtois, s. gallot se (x, g_0) é uma variedade compacta localmente simétrica negativamente curvada com diâmetro <d, então f é homotópica a um difeomorfismo entre x e y se e somente se existe uma metrica g em y tal que ric(g) > - (m-1)g e vol(y, g) < (1+e) vol(x, g_0)$, onde e>0 depende de m e d. o objetivo deste projecto de pesquisa é de adaptar a definicao da aplicação baricentro substituindo a distancia con a função diastasis ao fim de provar o seguinte teorema de rigidez: seja (x, g0) uma variedade complexa hipebólica e compacta de dimensão n>1 seja (y,g) a variedade de kälher compacta de dimensão n tal que o hessiano da função diastasis tem valores proprios limitados por cima por uma constante positiva. então se f:y -> x é uma aplicação continua cujo grau satisfaz |(entd (y, g)vol(y, g)?|deg(f)|entd (x, g0)vol(x, g0))| < e, onde entd(.) denota a entropia volumica e deg(f) o grau de f. enão se e>0 é suficientemente pequeno, segue que f é homotopica a uma cobertura diferenciável f_e: y f x. além disso se g é normalizada de maneira que entd (y, g) = entd (x, g0) então f_e é quasi isométrica, no seguinte sentido: a'(e) < |(d_y f_e(u))|/|u|< a"(e) onde a'(e) -> 1 e a"(e) -> 1 como e -> 0. uma primeira observação é que este resultado vai implicar a conjetura de gromov katok em termos de entropia vollumica, no caso de curvatura estrimente negativa. a segunda observação é que a vantagem de utilizar a tecnica do baricentro diastatico é que podemos construir explicitamente a função f e portanto estimar e, a'(e) e a''(e). outras aplicações deste resultado e da tecnica do baricentro diastatico, nas quais estou interessado neste momento, são as seguintes: - o estudo da conjectura de gromov-katok para a entropia volumica em termos de entropia diastatica. mais precisamente: seja (x, g0) uma variedade complexa compacta de dimensão complexa n>1, dotada de uma estrutura simétrica local de tipo não compacto g0. então o funcional f : e (x, g0) -> r + {infinito} dado por g -> entd (x, g), atinge seu minimo quando g é holomorficamente ou anti-holomorficamente isométrica a g0. onde e (x, g0) é o conjunto das métricas de kälher com volume ugual ao volume de g0. a conjectura (aberta no caso de curvatura não positiva) está provada num meu trabalho anterior no caso de curvatura estritamente negativa. uma outra aplicação muito interessante é o estudo das métricas de einstein sobre variedade de kälher. a ideia é de aplicar as propriedades da entropia diastatica e da aplicação baricentro, de uma maneira semelhante as técnicas utilizadas por besson-courtois-gallot e por sambusetti, para obter obstruções pela existência de uma metrica de einstein numa variedade de kälher de dimensão complexa 2.